API Gatewayの設定を最小限にして、LambdaのREST APIを作成してみます。制御をLambdaで行うことで、ヘッダーを動的にしたり、クロスサイトスクリプト(XSS/CORS)への対応も容易にでき、特にAPI Gatewayの知識が深くなくても扱えるようになると思います。